“外人”一定很难理解，在小学数学中，尤其是低年级，怎么连数一数有几个角这种普通的题，也变成了“难题”呢？
不是说人类还不会说话，就会数数了吗？怎么连数数都数不清楚了呢？
其实，要想数清数物体的数量，首先就是界定什么是物体，然后还要考虑哪些算是这种物体，才能数清。角在小学数学低年级，正是这样的例子。
让学生数角，所指的是单个的角还是也可以包括组合的？那些普通的小于180度的角自然很容易认得，但正好180度的平角、360度的周角，以及那些在平角与周角之间的“优角”，算不算？数不数？都是问题。
一、多大的角要数？多大的不要数？图形外的角要不要数？
说一个我喜欢的数学冷笑话：“什么动物数学最厉害？”，答案是：老鼠（shǔ）。
为什么呢？因为它老是在数呀。
数数是一件说起来容易，其实不容易的事情。
不光数数，数图形也是这样，在小学的低年级，数角居然也是一个难题。
可能家长们很难理解，数东西有什么难的？一个图上的角数量都在10个以内
掰手指都够了，但事实上数角这事就是有争议……
1.争议是什么？
看下面的题与图，题目是：在下面的图形中，各有几个角？
一个争议是组合的角要不要数？例如第2个图上面的2个锐角合成了一个更大的锐角，要数吗？另一个争议是大于等于180度的角要不要数？同样在上面的第2图中，下面的一个锐角和一个钝角合成了一个平角，那这个平角要数吗？
2.课本是怎样要求的
我们来看看课本是怎样要求的，这是课后的第3题：
这是总复习的第6题：
看出来了吗？课本上的例题与习题，其实都非常简单。
明确地说，要求学生数角的图形课本上出的都是凸多边形。那么什么是凸多边形呢？在教科书上的定义是：
任何一条边延长为直线，其他的边都在这条直线的同一侧的多边形就是凸多边形。
这个定义是很美妙的，请大家琢磨一下。当然，如果都是数凸多边形的角，那答题就非常简单了。可是理想很美好，现实很骨感，孩子们在练习中见到的都是怎样的题呢？瞧，下面这个图，两个三角形对顶，于是在对顶的地方
两条线交叉，形成的角可就多了。
再看这个图，整体看起来是一个向右的箭头，本质上说，是一个凹多边形
于是就有了大于180度的角。怎么数？要不要数呢？下面说说我的看法：
3.图中180度及以上的角要不要数？
例如下图中的角2，其实是一个大于180度的角，又叫优角。它与角1合成360度，要数吗？
再看下图，角1和角2合成的是平角，要数吗？
对于这些超出当前年级教材所教内容的角，我认为不要数。
事实上数学有很多这样的情况，最初的研究者给出一个定义，原来是就普通的事物所下的定义。而慢慢地，人们的认识深化了，才发现其他事物或情况
原来也是符合这个定义的，此时，定义就开始拓展。
我们举一个例子：人类是慢慢地认识到人也是动物中的一类的。在分类学上：
人属于动物界、脊索动物门、哺乳纲、灵长目、人猿超科、人科、人属、人种，但在现实生活中，我们在数动物时，从来不会把人计算在内。
下面这个，应当属于例外：）
所以卢老师认为，让孩子们数角，其实就是考核他们现阶段对角的认识。那么超出他们的认识的角，当然不应当作为基本要求。
低年级来说，就是180度及以上的角，不要数。对于组合而成的角，也照此办理（下面专门论述组合角）。此正所谓，不知者不罪。
4.形外角要不要数
还有一件很奇怪的事，不知怎么形成了一种看法，有的老师认为：在图形外的角不要数。
例如下面这个图中，角4和角5在对顶的三角形的“腰”的位置，但角4和角5在所谓的“图形外面”，所以不要数。我不赞成这种看法：
首先要指出的是设计这道题的人民教育出版社本身就指出答案是8个角，
也就是包括这里的角4和角5。后来人教社在新的教材中，删除了这一题，可见正如我前面所说，只要求孩子能够在简单的凸多边形中认角和数角就行了。
卢老师认为形外角不算角，从逻辑上是非常说不通的：一个图形自身的属性，并不因它的方向位置旋转角度而改变。
也就是说，跟它在哪里没有关系。无论圆画在哪里，它就是圆。正如六年级教学中所说，圆心只是决定了圆的位置而已。
想一想：如果一个图形平移旋转位置改变之后，就不再是它，那是多么可怕的事。你晚上睡觉，睡姿不好，弯着扭着，四脚朝天，结果妈妈进来就不认识你了，认为弯起来的你其实是一个甜甜圈，或者因为你四脚朝天，所以是张凳子。这是多么恐怖的事。
所以，要不要数这个角，与它在形内还是形外无关。事实上你只要遮掉上下其他部分，或是单独露出中间部分，你必定会承认这儿有四个角。如果因为它们在所谓的“形外”，就不算角，那么岂不是最上最下的两条线段，居然能决定“遥远”的两个角的“生死”吗？
二、组合角要不要数？
有老师觉得：从角的定义出发，组合角也符合角的定义。那么这一点怎么把握呢？在二年级能考数组合角吗？
我认为，在二年级不是说组合角要不要算，而是在这个年级不要特意考组合角。如果要考，那么命题时要反思，考学生数组合角的理由和依据是什么？
如果要求学生能够数出1+2的那种图形的组合角，那就应该回答一下为什么你的考核标准要超出教材的？
作为教研员，我一直非常小心地把握考核学生的要求，不要刻意超过课本，并且应当要有长远的意义。
虽然说各种角都符合角的定义，但要知道从角的定义出发，平角周角也都是符合角的定义的，但这并不代表二年级就可以考平角周角以及优角了。
所以说，按照教材的要求，这个阶段是不需要考组合角的。如果你一定要考，同时要承认这是超纲的。
当我们讨论的怎么考“角的认识”的时候，我觉得不如学习一下北师大版的课后练习，他们考的图形比人教版复杂，但只是要求在较复杂的图形中按要求标出几个指定的类型的角就可以了，它并不要求数出图形中所有的角。
大家不仿看看这三图，以五角星为例，如果我们考“数一数五角星上有几个角”，必定陷入5个、10个、15个还是20个的争议中……
但要求学生找出角，标一标，不是在二年级期待学生掌握的角的知识，全有了吗？
所以，让我们来总结一下“低年级数角的三个原则”，根据二年级教材上的内容以及考核样例，我们很容易得出结论：
不必特意考组合角。虽然学生很大可能能够理解组合角，但那是拓展后的要求，在课内我们是不需要作这样的要求的。学生能够理解“从一个点起，向不同的方向画两条笔直的线，就画成一个角”，就可以了。其实并不需要他能够从复杂的图形中，辨认出角来。
不必数平角及以上的角。课本上只教学到直角、锐角、钝角为止，那么对学生来说，他只需要认识这是一个角，并不需要去思考“这侧”有一个角，“那侧”也有一个角。
要注意“图形中的角”并不是指要数封闭图形中的角，一个角在此时需要不需要要求认识到，是以它的大小为准的，而与位置无关。
三、数角题争议的最终解决方案
那么，中高年级（以四年级为主）怎么把握数角题的分寸呢？有老师发来一图，问：第17题应当选什么呢？
提问者给出的就是四年级的考卷上的题。可以从下方的第二大题中，看出这是四年级学习了《角的度量》之后的练习题，因为第二大题是要求画指定度数的角，而在二年级学习“角的初步认识”时，是没有对角的度数的知识的。很容易推测出师生们的困惑，和二年级时的疑惑仍相同，
一是要不要数组合角，例如左上角，是算2个角还是算3个角。
二是要不要数平角及以上的角，例如平角、周角，以及大于180度而小于360度的角（优角）。
在本题中，要数的角基本上没有平角（因为没有线中间的顶点）和周角（一般不数，否则没完没了），那么师生们困惑的就是要不要数外角（优角）了。
看来数角问题还真是让人为难，在二年级我们还可以以“本年级未学，不必数”来回绝，但到了四年级，数角时要不要包括周角、优角、平角就是一个难以回避的问题了。
我的看法很简单，其实，数角的多少，并，不，重，要。曾经与中学数学老师交流：从初中数学老师的角度，觉得数角的数量重要吗？对于初中的数学学习，角的哪方面知识重要呢？
他的回答是：侧重于角的度数大小的计算和以及利用角度之间的数量关系（例如等角的余角相等），对角进行转换，对数角个数要求比较低。
我们以人教版七年级上册数学教材第132页来观察：
请看，当研究角的时候，首先要做的事就是——对角命名，有三种命名方式，（右边“如图”）并且要求学生思考当多个角同一个顶点时，不能只用这个顶点的字母名来表示角。
此时，你只要知道，不能表示是因为此处有“多个角”，而不管它是两个三个还是更多更多个角。角的数量，不是重点。
再看，七上教材第134页，我们终于在初中教材中也找到“图中共有几个角”的题啦，（喜大普奔），可是更要注意的是接下来的问题，问的是“它们之间有什么关系”。
很明确，需要学生发现与表达的是∠AOB＋∠BOC＝∠AOC。也就是几个角之间在角度上的加减数量关系。
再看第135页，
需要学生关注的是左图中，射线OB把∠AOC分成了两个相等的角，右图中，射线OB、OC把∠AOD三等分。
可以看出，如果孩子们能够清晰地指出一个角（即便小学阶段没有教给规范的表示法），能够发现所要研究的角之间的关系，甚至进一步能够看出图形上的不同角之间的变换关系（例如在折纸时，某个角被折到了某处），那就足够了。
很期待老师们不要在批改试卷时纠结。而这需要的是命题者命题思路风格的转变。
所以让我们跟“数一数有几个角”的题来个彻底了断，
二年级的时候，只要求在简单的图形（可以限制在凸多边形以内），让学生数一数，认识那些已经在他们认知范围内的角。
而到了四年级，面对复杂一些的图形，能够发现指定角的角度大小之间的关系，能够理解它们之间的位置转换关系，那更重要，对未来的学习，也更有价值。
最后，让我们看一段人教版七年级上册《教师教学用书》中的一段话：如无特殊说明，在初中阶段所说的角一般都指小于平角的角，这对于本学段角的研究一般就够了。教学中应向学生指明这一点。
初中都够了，小学难道不够吗？
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